(本小题满分12分)已知矩形与正三角形所在的平面互相垂直, 、分别为棱、的中点,,,(1)证明:直线平面;(2)求二面角的大小.
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(本小题满分12分)已知矩形与正三角形所在的平面互相垂直, 、分别为棱、的中点,,,(1)证明:直线平面;(2)求二面角的大小.
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)
已知矩形
与正三角形
所在的平面互相垂直,
、
分别为棱
、
的中点,
,
,
(1)证明:直线
平面
;
(2)求二面角
的大小.
答案
(1)见解析;(2)
.
解析
(1)取EC的中点F,连接FM,FN,则可以证明四边形AMFN为平行四边形,从而证明AM//NF,问题得证.
(2)可以采用传统方法找(或作)出二面角的平面角,也可以考虑用空间向量法求二面角.
方法一:(1)证明:取
EC
的中点
F
,连接
FM
,
FN
,
则
,
,
,
………………………2分
所以
且
,所以四边形
为平行四边形,
所以
, …………………………………4分
因为
平面
,
平面
,
所以直线
平面
; …………………………………6分
(2)解:由题设知面
面
,
,
又
,∴面
,作
于
,则
,作
,连接
,由三垂线定理可知
,
∴
就是二面角
的平面角, …………………………………9分
在正
中,可得
,在
中,可得
,故在
中,
, ………………………………11分
所以二面角
的大小为
…………………………12分
方法二:如图以
N
为坐标原点建立空间右手
直角坐标系,所以
…1分
(1)取
EC
的中点
F
,所以
,
设平面
的一个法向量为
,
因为
,
所以
,
;
,………3分
因为
,
,所以
………………………5分
因为
平面
,所以直线
平面
………………………7分
(2)设平面
的一个法向量为
,因为
,
所以
,
;所以
……………9分
………………………………11分
因为二面角
的大小为锐角,
所以二面角
的大小为
………………………………12分
举一反三
(本小题满分12分)如图,四棱锥
中,底面
为矩形,
底面
,
,点
是棱
的中点.
(1)证明:
平面
;
(2)若
,求二面角
的平面角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知直线
,直线
,则下列四个命题:①
;②
;③
;④
.其中正确的是( ).
A.①②
B.③④
C.②④
D.①③
题型:不详
难度:
|
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在如图所示的几何体中,四边形
是等腰梯形,
∥
,
平面
.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知直三棱柱
中,
,
,
为
的中点。(Ⅰ)求点C到平面
的距离;(Ⅱ)若
,求二面角
的平面角的余弦值。
题型:不详
难度:
|
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下面四个命题,正确的是( )
A.己知直线a,b
平面α,直线c
平面β,若c⊥a,c⊥b,则平面α⊥平面β
B.若直线a平行平面α内的无数条直线,则直线a//平面α;
C.若直线a垂直直线b在平面a内的射影,则直线a⊥b
D.若直线a, b. c两两成异面直线,则一定存在直线与a,b,c都相交
题型:不详
难度:
|
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