(本小题满分12分)直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点D在AB上.(Ⅰ)求证:AC⊥B1C;(Ⅱ)若D是AB中点,

(本小题满分12分)直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点D在AB上.(Ⅰ)求证:AC⊥B1C;(Ⅱ)若D是AB中点,

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12)直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点DAB上.
(Ⅰ)求证:ACB1C
(Ⅱ)若DAB中点,求证:AC1∥平面B1CD
(Ⅲ)当时,求二面角的余弦值.

答案
18.(Ⅰ)证明:在△ABC中,因为 AB=5,AC=4,BC=3,
所以AC2+ BC2= AB2, 所以 ACBC.                      
因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以C C1AC.                  
因为BCAC =C所以 AC⊥平面B B1C1C.     
所以ACB1C.         …………4分
(Ⅱ)证明:连结BC1,交B1CE,连接DE
因为直三棱柱ABC-A1B1C1DAB中点,所以侧面B B1C1C为矩形,DE为△ABC1的中位线,
所以DE// AC1.因为DE平面B1CD AC1平面B1CD,所以AC1∥平面B1CD.........8分

(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知ACBC,如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1(0, 4, 4),B1(3, 0, 4).
D (a, b, 0)(),
因为点D在线段AB上,且,即
所以, ,
平面BCD的法向量为.设平面B1 CD的法向量为
,得
所以.所以 
所以二面角的余弦值为.……………12分
解析

举一反三
如图,是⊙O的直径,C是圆周上不同于A、B的点,PA垂直于⊙O所在平面于E,于F,因此________⊥平面PBC(请填图上的一条直线)

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(本小题满分12分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥P—ABCD中,平面ABCD,PA=AB=BC=3,梯形上底AD=1。
(1)求证:平面PAB;
(2)求面PCD与面PAB所成锐二面角的正切值;
(3)在PC上是否存在一点E,使得DE//平面PAB?若存在,请找出;若不存在,说明理由。

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如图,边长为2的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面,的中点.
(1)证明:
(2)求异面直线所成角的余弦值.

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(本小题满分14分)如图,在四棱锥中,,四边形是正方形,的中点,的中点

(1)求证:;  
(2)求证:.
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如图,已知直角梯形所在的平面垂直于平面
(1)的中点为,求证∥面
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值

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