18.(Ⅰ)证明:在△ABC中,因为 AB=5,AC=4,BC=3, 所以AC2+ BC2= AB2, 所以 AC⊥BC. 因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以C C1⊥AC. 因为BC∩AC =C,所以 AC⊥平面B B1C1C. 所以AC⊥B1C. …………4分 (Ⅱ)证明:连结BC1,交B1C于E,连接DE. 因为直三棱柱ABC-A1B1C1,D是AB中点,所以侧面B B1C1C为矩形,DE为△ABC1的中位线, 所以DE// AC1.因为DE平面B1CD, AC1平面B1CD,所以AC1∥平面B1CD.........8分
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知AC⊥BC,如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1(0, 4, 4),B1(3, 0, 4). 设D (a, b, 0)(,), 因为点D在线段AB上,且,即. 所以,,,, ,. 平面BCD的法向量为.设平面B1 CD的法向量为, 由,,得, 所以,,.所以 . 所以二面角的余弦值为.……………12分 |