（本小题满分12分）四面体ABCD中，对棱AD⊥BC，对棱AB⊥CD，试证明：AC⊥BD.

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
四面体ABCD中，对棱AD⊥BC，对棱AB⊥CD，试证明：AC⊥BD.

答案

略

解析

证法1：作AO⊥平面BCD于O，则BO、CO、DO分别为AB、AC、AD在平面BCD内的射影.        ∵CD⊥AB,CD平面BCD        ∴CD⊥BO（三垂线定理的逆定理）
同理BC⊥DO        ∴O为△BCD的垂心       从而BD⊥CO
∴BD⊥AC（三垂线定理），即AC⊥BD
证法2：作出向量、、、、、.
∵⊥，⊥
∴·=0，·=0
又=+，=+
∴·=·+·++·
=·+ (++)
=·+·=0
∴⊥      ∴AC⊥BD