解:设BD与AC交于O,则BD⊥AC,连接A1O, 在中,, ∴, ∴,∴, 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,A1O⊥平面ABCD, 以OB,OC,OA,所在直线分别为x轴,y轴,z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,则, , (Ⅰ)由于, , ∴。 (Ⅱ)由于OB⊥平面AA1C1C, ∴平面AA1C1C的一个法向量为, 设平面AA1D,则, 设,则, 取, ∴, 所以二面角D-AA1-C的平面角的余弦值为。 (Ⅲ)假设在直线CC1上存在点P,使BP∥平面DA1C1, 设,则, 从而有, 设平面DA1C1,则, 又, 设,,取, 因为BP∥平面DA1C1,则, 即,得λ=-1, 即点P在C1C的延长线上,且C1C=CP。 | |