如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，AD=22，P为C1D1的中点，M为BC的中点．（Ⅰ）证明：AM⊥PM；（Ⅱ）求AD与平面AM

题型：不详难度：来源：

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA1=

3

，AD=2

2

，P为C₁D₁的中点，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求AD与平面AMP所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-AM-D的大小．

答案

（Ⅰ）以D点为原点，DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz…（1分）
可得D(0，0，0)，P(0，1，

3

)，C(0，2，0)，A(2

2

，0，0)，M(

2

，2，0)．
∴

PM

=(

2

，2，0)-(0，1，

3

)=(

2

，1，-

3

)，

AM

=(

2

，2，0)-(2

2

，0，0)=(-

2

，2，0)，
由此可得

PM

•

AM

=(

2

，1，-

3

)•(-

2

，2，0)=0，
即

PM

⊥

AM

，可得AM⊥PM．…（4分）
（Ⅱ）设平面PAM的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • PM =0 n • AM =0

，即

2 x+y- 3 z=0 - 2 x+2y=0

解得

z= 3 y x= 2 y

，
取y=1，得

n

=(

2

，1，

3

)，…（6分）
∴AD与平面AMP所成角θ的正弦值
sinθ=|cos＜

DA

，

n

＞|=

| DA • n |

| DA || n |

=

|(2 2 ，0，0)•( 2 ，1， 3 )|

2 2 ( 2 )2+12+( 3 )2

=

3

3

．…（9分）
（Ⅲ）由（II），向量

n

=(

2

，1，

3

)是平面PAM的一个法向量，
∵平面AMD的法向量为

m

=(0，0，1)，可得cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

6

=

2

2

∴向量

m

，

n

的所成角等于45°，观察图形可得：二面角P-AM-D的大小等于45°．…（13分）