三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13，PB=29，求PC与AB所成角的余弦值．

题型：不详难度：来源：

三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=

13

，PB=

29

，求PC与AB所成角的余弦值．

答案

如图所示，
∵∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=

AC2+BC2

=

22+( 13 )2

=

17

，
cos∠BAC=

AC

AB

=

2

17

=

2 17

17

，cos＜

BA

，

AC

＞=-

2 17

17

；
在Rt△ABP中，由勾股定理可得PA=

PB2-AB2

=

( 29 )2-( 17 )2

=2

3

；
在Rt△APC中，由勾股定理可得PC=

AC2+PA2

=

22+(2 3 )2

=4，
cos∠ACP=

AC

CP

=

2

4

=

1

2

，cos＜

AC

，

CP

＞=-

1

2

．
∵

BP

=

BA

+

AC

+

CP

，好
∴

BP

2=(

BA

+

AC

+

CP

)2=

BA

2+

AC

2+

CP

2+2

BA

•

AC

+2

BA

•

CP

+2

AC

•

CP

，
∴(

29

)2=(

17

)2+22+42+2×

17

×2cos＜

BA

，

AC

＞+2×

17

×4cos＜

BA

，

CP

＞+2×2×4×cos＜

AC

，

CP

＞，
即29=17+4+16+4

17

×(-

2 17

17

)+8

17

cos＜

BA

，

CP

＞+16×(-

1

2

)．
化为cos＜

BA

，

CP

＞=

17

17

．
∴异面直线PC与AB所成角的余弦值为

17

17

．