证明:(1)如图取B"D"的中点为F,连AF,C′F, 易得AFC′F为平行四边形. ∴AF∥C"E, 又AF⊂平面AB′D′, ∴C′E∥面AB′D′..(4分) (2)因ABCD为菱形,且∠DCB=60°,取BC中点为G 易得AD,DG,DD’相互垂直,故分别以之为x,y,z轴建立坐标系如图. 由棱长为2得A(2,0,0),B′(1,,2),D′(0,0,2) 进而得面ADD"的一个法向量为(1,-,1),又面ABD的法向量为(0,0,1) 所以面AB"D"与面ABD所成锐二面角的余弦值 cosθ== (3)设B’D与BD的交点为O, 由图得四棱锥B"-ABCD与D"-ABCD的公共部分为四棱锥O-ABCD, 且O到下底面的距离为1, SABCD=2××2×2sin600=2 所以公共部分的体积为×2×1=.
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