(1)已知,求证:;(2)已知,且,求证:.
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(1)已知,求证:;(2)已知,且,求证:.
题型:不详
难度:
来源:
(1)已知
,求证:
;
(2)已知
,且
,
求证:
.
答案
证明见解析.
解析
试题分析:(1)本题证明只要利用作差法即可证得;(2)这个不等式比较复杂,考虑到不等式的形式,我们可用数学归纳法证明,关键在
时的命题如何应用
时的结论,
中要把两个括号合并成一个,又能应用
时的结论证明
时的结论,当
时,结论已经成立,当
时,在
中可找到一个,不妨设为
,使
,即
,从而有
,这样代入进去可证得
时结论成立.
(1)因为
,所以
,即
; 2分
(2)证法一(数学归纳法):(ⅰ)当
时,
,不等式成立. 4分
(ⅱ)假设
时不等式成立,即
成立. 5分
则
时,若
,则命题成立;若
,则
中必存在一个数小于1,不妨设这个数为
,从而
,即
.
同理可得,
所以
故
时,不等式也成立. 9分
由(ⅰ)(ⅱ)及数学归纳法原理知原不等式成立. 10分
证法二:(恒等展开)左右展开,得
由平均值不等式,得
8分
故
. 10分
举一反三
若
都是正实数,且
.求证:
与
中至少有一个成立.
题型:不详
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用反证法证明命题:“若
,那么
,
,
中至少有一个不小于
”时,反设正确的是( )
A.假设
,
,
至多有两个小于
B.假设
,
,
至多有一个小于
C.假设
,
,
都不小于
D.假设
,
,
都小于
题型:不详
难度:
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完成反证法证题的全过程.设a
1
,a
2
, ,a
7
是1,2, ,7的一个排列,求证:乘积p=(a
1
-1)(a
2
-2) (a
7
-7)为偶数.
证明:假设p为奇数,则a
1
-1,a
2
-2, ,a
7
-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=
=
=0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.
题型:不详
难度:
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比较大小:
_______
.
题型:不详
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用反证法证明:已知
,
,
,求证:
,
,
.
题型:不详
难度:
|
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