(1)∵CD切⊙O于点D, ∴三角形CDO是直角三角形, ∵CA=1,CD是⊙O半径的倍, ∴在直角△CDO中,CD2+OD2=CO2, 则,(R)2+R2=(1+R)2, ∴R=1;
(2)∵DE∥CB,
∴动点Q从A出发沿直径AB向B运动的过程中,△DEQ的底DE不变,底DE上的高不变, ∴△DEQ的面积不变,则阴影部分的面积不变; 由OD=1,CO=2, ∴∠C=30°,则∠COD=60°, ∴∠ODE=60°, ∵∠ODE=∠OED, ∴∠OED=60° ∴∠DOE=60°, ∴S阴影=×πR2=π;
(3)如图,连接AD、BD, ∴∠DAB=∠DMN,又∠ADB=∠MDN=90°, ∴△ADB∽△MDN, 又AD=1,AB=2, ∴BD=, ∴==, ∴DN=DM, ∴当DM为最大值,即DM过圆心O时,DN取到最大值; ∵∠AOD=60°, ∴∠AOM=120°, ∴
| AM | =×2πR=π. |