已知函数f(x)=log2x(Ⅰ)若f(x)的反函数是函数y=g(x),解方程g(2x)=2g(x)+10;(Ⅱ)对于任意a、b、c∈[M,+∞),M>1且a≥
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已知函数f(x)=log2x (Ⅰ)若f(x)的反函数是函数y=g(x),解方程g(2x)=2g(x)+10; (Ⅱ)对于任意a、b、c∈[M,+∞),M>1且a≥b≥c.当a,b,c能作为一个三角形的三边长时,f(a)、f(b)、f(c)也总能作为某个三角形的三边长,试分别探究下面两个问题: (1)当1<M<2时,是否存在a、b、c∈[M,+∞),且a≥b≥c,当a、b、c能作为一个三角形的三边长时,以f(a)、f(b)、f(c)不能作为三角形的三边长. (2)M≥2,证明:对于任a、b、c∈[M,+∞),且a≥b≥c,当a、b、c能作为一个三角形的三边长时,f(a)、f(b)、f(c)总能作为三角形的三边长. |
答案
(Ⅰ)函数f(x)的反函数y=g(x)=2x,由g(2x)=2g(x)+10 可得:22x=2×2x+10,解得2x=1±, ∴x=log2(1+) (Ⅱ)由题意知,c+b>a ∵f(a),f(b),f(c)能作为某个三角形的三边长, ∴log2c+log2b>log2a, ∴bc>a(2分) ∵bc≥b+c, ∴(b-1)(c-1)≥1 当b≥2,c≥2时,有(b-1)(c-1)≥1成立,则一定有bc>a成立. ∵log2c>0, ∴c>1,即0<M≤1不合题意. 又当1<M<2时,取b=M,c=M,a=M2,有M+M>M2,即b+c>a, 此时a,b,c可作为一个三角形的三边长,但log2M+log2M=2log2M=log2M2, 即f(b)+f(c)=f(a),所以f(a)、f(b)、f(c)不能作为三角形的三边长. 综上所述,M的最小值为2. 所以(1)当1<M<2时,不存在a、b、c∈[M,+∞),且a≥b≥c,当a、b、c能作为一个三角形的三边长时,以f(a)、f(b)、f(c)不能作为三角形的三边长. (2)M≥2,时对于任a、b、c∈[M,+∞),且a≥b≥c,当a、b、c能作为一个三角形的三边长时,f(a)、f(b)、f(c)总能作为三角形的三边长. |
举一反三
已知函数f(x)=logn+1x(n>0),且g(x)=x+f(x+2)-f(n-x)是奇函数. (1)求实数n的值; (2)求g(x)图象与直线y=-2,x=1围成的封闭图形的面积S; (3)对于任意a,b,c∈[M,+∞),且a≥b≥c.当a、b、c能作为一个三角形的三边长时,f(a),f(b),f(c)也总能作为某个三角形的三边长,试求M的最小值. |
下列表述:①综合法是执因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法; ④分析法是间接证法;⑤反证法是逆推法.正确的语句有( )A.2个 | B.3个 | C.4个 | D.5个 | 设a,b均为正数, (Ⅰ)求证:≥; (Ⅱ)如果依次称、、分别为a,b两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数.如右图,C为线段AB上的点,令AC=a,CB=b,O为AB的垂线交半圆于D.连结OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,请分别用图中线段的长度来表示a,b两数的几何平均数和调和平均数,并说明理由.
| 设f(n)=1+++…+,是否存在g(n),使等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)[f(n)-1]对n≥2的一切自然数都成立,并证明你的结论. | 设为正整数,且与皆为完全平方数,对于以下两个命题:
(甲).必为合数;(乙).必为两个平方数的和. 你的判断是( )A.甲对乙错; | B.甲错乙对; | C.甲乙都对; | D.甲乙都不一定对. |
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