设a、b∈R+且a+b=3，求证1+a+1+b≤10．

题型：不详难度：来源：

设a、b∈R⁺且a+b=3，求证

1+a

+

1+b

≤

10

．

答案

证明：证法一：（综合法）
∵(

1+a

+

1+b

)2=2+a+b+2

(1+a)•(1+b)

≤5+(1+a+1+b)=10
∴

1+a

+

1+b

≤

10

证法二：（分析法）∵a、b∈R⁺且a+b=3，
∴欲证

1+a

+

1+b

≤

10

只需证(

1+a

+

1+b

)2≤10
即证2+a+b+2

(1+a)•(1+b)

≤10即证2

(1+a)•(1+b)

≤5
只需证4（1+a）•（1+b）≤25只需证4（1+a）•（1+b）≤25
即证4（1+a+b+ab）≤25只需证4ab≤9即证ab≤

9

4

∵ab≤(

a+b

2

)2=(

3

2

)2=

9

4

成立∴

1+a

+

1+b

≤

10

成立