本题满分16分)两个数列{an},{bn},满足bn=a1+2a2+3a3+…+nan1+2+3+…+n.★(参考公式1+22+32+…+n2=n(n+1)(2

本题满分16分)两个数列{an},{bn},满足bn=a1+2a2+3a3+…+nan1+2+3+…+n.★(参考公式1+22+32+…+n2=n(n+1)(2

题型:不详难度:来源:
本题满分16分)两个数列{an},{bn},满足bn=
a1+2a2+3a3+…+nan
1+2+3+…+n
.★(参考公式1+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6

求证:{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列.
答案
证明:∵bn=
a1+2a2+3a3+…+nan
1+2+3+…+n
,∴bn+1=
a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an
1+2+3+…+n+(n+1)

n(n+1)
2
bn=a1+2a2+3a3+…+nan ①,
(n+1)(n+2)
2
bn+1=a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1.②
②减去①可得
(n+1)(n+2)
2
bn+1-
n(n+1)
2
bn=(n+1)an+1
两边同时除以n+1可得
n+2
2
bn+1-
n
2
bn=an+1 ③,
n+1
2
bn-
n-1
2
bn-1=an  ④.
③减去④可得 an+1 -an=(
n+2
2
 bn+1 -
n+1
2
 bn )-(
n
2
 bn -
n-1
2
bn-1
=
n
2
bn+1 +bn+1 -
n
2
bn-
1
2
bn-
n
2
bn+
n
2
 bn-1-
1
2
bn-1 
=
n
2
(bn+1-bn )+
1
2
(bn+1-bn )+
1
2
 (bn-bn-1)-
n
2
(bn-bn-1
=
n+1
2
(bn+1-bn )+
1
2
(bn+1-bn )-
n-1
2
(bn-bn-1).
由于{bn}为等差数列的充要条件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常数d,
此时an+1 -an=
n+1
2
d+
1
2
d
-
n-1
2
d
=
3
2
d
,是个常数.
故:{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列.
举一反三
已知a,b,c∈R+,求证:
a
b+c
+
b
a+c
+
c
a+b
3
2
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要证明


3
+


7
<2+


6
,在合情推理法、演绎推理法、分析法和综合分析法中,选用的最适合的证法是______.
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试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法,证明下列结论:已知0<a<1,则
1
a
+
4
1-a
≥9.
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已知x,y均为正实数,求证:
1
4x
+
1
4y
1
x+y
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已知数列{an}满足a1=1,an+1-2an=2n,则an=______
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