设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）中，a、b、c均为整数，且f（0），f（1）均为奇数。求证：f（x）=0无整数根。

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设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）中，a、b、c均为整数，且f（0），f（1）均为奇数。
求证：f（x）=0无整数根。

答案

证明：设f（x）=0有一个整数根k，则ak²+bk=-c， ①
又∵f（0）=c，f（1）=a+b+c均为奇数，
∴a+b为偶数，
当k为偶数时，显然与①式矛盾；
当k为奇数时，设k=2n+1（n∈Z），则ak²+bk=（2n+1）·（2na+a+b）为偶数，也与①式矛盾，
故假设不成立，
所以方程f（x）=0无整数根。