设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a、b、c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数。求证:f(x)=0无整数根。

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a、b、c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数。求证:f(x)=0无整数根。

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设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a、b、c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数。
求证:f(x)=0无整数根。
答案
证明:设f(x)=0有一个整数根k,则ak2+bk=-c, ①
又∵f(0)=c,f(1)=a+b+c均为奇数,
∴a+b为偶数,
当k为偶数时,显然与①式矛盾;
当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则ak2+bk=(2n+1)·(2na+a+b)为偶数,也与①式矛盾,
故假设不成立,
所以方程f(x)=0无整数根。
举一反三
用反证法证明:已知a与b均为有理数,且都是无理数,证明+是无理数。
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已知a,b,c,d∈R,且 a+b=c+d=1,ac+bc>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数。
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用反证法证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.
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用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60 度”时,反设正确的是(   )A.假设三内角都不大于60度;        
B.假设三内角都大于60度;
C.假设三内角至多有一个大于60度;
D.假设三内角至多有两个大于60度。
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(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;
(2)已知a,b∈R,|a|+|b|2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1,以下结论正确的是
A.(1)与(2)的假设都错误
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确;(2)的假设错误
D.(1)的假设错误;(2)的假设正确
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