若p1p2=2(q1+q2),证明:关于x的方程x2+p1x+q1=0与方程x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实数根。
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若p1p2=2(q1+q2),证明:关于x的方程x2+p1x+q1=0与方程x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实数根。 |
答案
证明:假设原命题不成立, 即与都没有实根, ∴, 两式相加,得,即, 又, ∴,即, 显然不成立,故假设不成立,原命题是正确的。 |
举一反三
设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0, (1)证明l1与l2相交; (2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上. |
是否存在四个正实数,使得他们的两两乘积为2,3,5,6, 10 ,16? |
某个命题的结论为“x,y,z三个数中至少有一个为正数”,现用反证法证明,假设正确的是 |
A.假设三个数都是正数 B.假设三个数都为非正数 C.假设三个数至多有一个为负数 D.假设三个数中至多有两个为非正数 |
A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合: ①对任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2) ; ②存在常数L(0<L<1),使得对任意的x1,x2∈[1,2],都有|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|, (Ⅰ)设,证明:φ(x)∈A; (Ⅱ)设φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的; (Ⅲ)设φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式。 |
用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”时,反设正确的是( ) |
A.假设三个内角都不大于60° B.假设三个内角至多有一个大于60° C.假设三个内角都大于60° D.假设三个内角至多有两个大于60° |
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