如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两

如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两

题型:高考真题难度:来源:
如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.
(Ⅰ)证明:C,B,D,E四点共圆;
(Ⅱ)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.

答案
(Ⅰ)证明:连接DE,
根据题意在△ADE和△ACB中,AD×AB=mn=AE×AC,

又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,
因此∠ADE=∠ACB,
所以C,B,D,E四点共圆。
(Ⅱ)解:m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12,
故AD=2,AB=12,
取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,
两垂线相交于H点,连接DH,
因为C,B,D,E四点共圆,
所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH,
由于∠A=90°,
故GH∥AB,HF∥AC,HF=AG=5,DF=(12-2)=5,
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5
举一反三
如图已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF:FB:BE=4:2:1, 若CE与圆相切,则CE的长为(    )。
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如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF:FB:BE=4:2:1,若CE与圆相切,则线段CE的长为(    )。
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如图,AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F,延长AF与圆O交于另一点G。
给出下列三个结论:①AD+AE=AB+BC+CA;②AF·AG=AD·AE;③△AFB∽△ADG;
其中正确结论的序号是


A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
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如图,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交与点F,则AF的长为(    )。
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如图所示,过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A,B两点,已知PA=2,点P到⊙O的切线长PT=4,则弦AB的长为(    )。
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