如图所示,AB为☉O直径,直线CD与☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连接AE,BE.证明:(1)∠FEB=∠CEB;(2)E
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如图所示,AB为☉O直径,直线CD与☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连接AE,BE.证明:(1)∠FEB=∠CEB;(2)E
题型:不详
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如图所示,AB为☉O直径,直线CD与☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连接AE,BE.证明:
(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF
2
=AD·BC.
答案
见解析
解析
证明:(1)由直线CD与☉O相切,
得∠CEB=∠EAB.
由AB为☉O的直径,
得AE⊥EB,
从而∠EAB+∠EBF=
;
又EF⊥AB,得
∠FEB+∠EBF=
,
从而∠FEB=∠EAB.
故∠FEB=∠CEB.
(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,
∠FEB=∠CEB,BE是公共边,
得Rt△BCE≌Rt△BFE,
所以BC=BF.
类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,
得AD=AF.
又在Rt△AEB中,EF⊥AB,
故EF
2
=AF·BF,
所以EF
2
=AD·BC.
举一反三
如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B、E、F、C四点共圆.
(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;
(2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x
2
-14x+mn=0的两个根.
(1)证明:C,B,D,E四点共圆;
(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.
题型:不详
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如图所示,AB是☉O的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,F为BA延长线上一点,且BD·BE=BA·BF,求证:
(1)EF⊥FB;
(2)∠DFB+∠DBC=90°.
题型:不详
难度:
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如图所示,PC与圆O相切于点C,直线PO交圆O于A,B两点,弦CD垂直AB于E,则下面结论中,错误的结论是( )
A.△BEC∽△DEA
B.∠ACE=∠ACP
C.DE
2
=OE·EP
D.PC
2
=PA·AB
题型:不详
难度:
|
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如图所示,AB是☉O的直径,P是AB延长线上的一点,过P作☉O的切线,切点为C,PC=2
,若∠CAP=30°,则PB=
.
题型:不详
难度:
|
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