如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G。（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G=90°

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如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G。

（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G=90°，求证四边形DEBF是菱形。

答案

解：（1）在平行四边形ABCD 中，AB∥CD，AB=CD
∵E、F分别为AB、CD的中点
∴DF=

DC，BE=

AB
∴DF∥BE，DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DE∥BF。
（2）∵AG∥BD，∠G=90°
∴∠DBC=∠G=90°，
∴△DBC为直角三角形，
又F为边CD的中点，
∴BF=

DC=DF，
由（1）知四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形。

举一反三

如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，若AC=AB=2，BD=（）。

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如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长是（）。

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如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足（）条件时，四边形EFGH是菱形。

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如图菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上，对应的数分别是和1，则菱形的周长为（）。

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已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O。

（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式。

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