如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,B为切点,OC平行于弦AD,连结CD. (1)求证:CD是⊙O的切线;(2)过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点P,求
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如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,B为切点,OC平行于弦AD,连结CD. (1)求证:CD是⊙O的切线;(2)过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点P,求
题型:不详
难度:
来源:
如图,
AB
是⊙
O
的直径,
BC
是⊙
O
的切线,
B
为切点,
OC
平行于弦
AD
,连结
CD
.
(1)求证:
CD
是⊙
O
的切线;
(2)过点
D
作
DE
⊥
AB
于点
E
,交
AC
于点
P
,求证:
P
点平分线段
DE
.
答案
(1)见解析(2)见解析
解析
(1)连结
OD
,
∵
OC
∥
AD
,
∴∠1=∠
ADO
,∠2=∠
DAO
.
∵
OA
=
OD
,
∴∠
ADO
=∠
DAO
,
∴∠1=∠2.
∵
OC
=
OC
,
OB
=
OD
,
∴△
DOC
≌△
BOC
,
∴∠
ODC
=∠
OBC
.
∵
OB
是⊙
O
的半径,
BC
是⊙
O
的切线,
∴
BC
⊥
OB
,∴∠
OBC
=90°,
∴∠
ODC
=90°,∴
CD
⊥
OD
.
又∵
OD
是⊙
O
的半径,∴
CD
是⊙
O
的切线.
(2)证法一:过点
A
作⊙
O
的切线
AF
,交
CD
的延长线于点
F
,则
FA
⊥
AB
.
∵
DE
⊥
AB
,由(1)知
CB
⊥
AB
,
∴
FA
∥
DE
∥
CB
,∴
.
在△
FAC
中,∵
DP
∥
FA
,∴
.
∵
FA
,
FD
是⊙
O
的切线,∴
FA
=
FD
,
∴
,∴
在△
ABC
中,∵
EP
∥
BC
,∴
.
∵
CD
,
CB
是⊙
O
的切线,∴
CB
=
CD
,
∴
.
∴
,∴
DP
=
EP
.
∴点
P
平分线段
DE
.
证法二:辅助线同上.
由(1)及已知条件知
BC
,
CD
,
AF
为⊙
O
的切线,
B
,
D
,
A
为切点,
∴
CB
=
CD
,
FA
=
FD
.
设
CD
=
m
,
FD
=
n
.
∵
DE
⊥
AB
,∴
AF
∥
DE
∥
BC
.
∴
,即
PD
=
,
PE
=
,
∴
PD
=
PE
,因此
P
点平分线段
DE
.
举一反三
如图,A,B是圆O上的两点,且OA⊥OB,OA=2,C为OA的中点,连接BC并延长交圆O于点D,则CD=
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则AE=
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,☉O和☉O′相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点,连结DB并延长交☉O于点E.证明:
(1)AC·BD=AD·AB;
(2)AC=AE.
题型:不详
难度:
|
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如图,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则BD=
cm.
题型:不详
难度:
|
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