(拓展深化)如图①所示,△ABC内接于⊙O,AB=AC,D是BC边上的一点,E是直线AD和△ABC外接圆的交点.(1)求证:AB2=AD·AE;(2)如图②所示

(拓展深化)如图①所示,△ABC内接于⊙O,AB=AC,D是BC边上的一点,E是直线AD和△ABC外接圆的交点.(1)求证:AB2=AD·AE;(2)如图②所示

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(拓展深化)如图①所示,△ABC内接于⊙O,AB=AC,D是BC边上的一点,E是直线AD和△ABC外接圆的交点.

(1)求证:AB2=AD·AE;
(2)如图②所示,当D为BC延长线上的一点时,第(1)题的结论成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
答案
见解析
解析

证明 (1)如图③,连接BE.

∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ACB=∠AEB,
∴∠ABC=∠AEB.
∴△ABD∽△AEB.
∴AB∶AE=AD∶AB,
即AB2=AD·AE.
(2)如图④,连接BE、EC,

∵四边形ABCE内接于⊙O,
∴∠CED=∠ABC,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠CED=∠ACB,
∵∠AEC=180°-∠CED,
∠ACD=180°-∠ACB,
∴∠AEC=∠ACD,∴△ACE∽△ADC,
∴=,∴AB2=AD·AE.
举一反三
已知四边形ABCD是圆内接四边形,下列结论中正确的有
①如果∠A=∠C,则∠A=90°
②如果∠A=∠B,则四边形ABCD是等腰梯形
③∠A的外角与∠C的外角互补
④∠A∶∠B∶∠C∶∠D的比可以是1∶2∶3∶4
A.1个B.2个C.3个D.4个

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如图所示,分别延长圆内接四边形ABCD两组对边相交于E和F两点,如果∠E=30°,∠F=50°,那么∠A为
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A.55°B.50°
C.45°D.40°
圆内接平行四边形一定是
A.正方形B.菱形
C.等腰梯形D.矩形

如图所示,已知在圆内接四边形ABCD中,BA和CD的延长线交于点P,AC和BD相交于点E,则图中共有相似三角形
A.5对B.4对C.3对D.2对

若BE和CF是△ABC的边AC和AB边上的高,则________四点共圆.