如图，⊙O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，若PB＝OA＝2，则PF＝________.

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如图，⊙O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，若PB＝OA＝2，则PF＝________.

答案

解析

由相交弦定理可得BF·AF＝DF·CF，
由△COF∽△PDF可得

，
即得DF·CF＝PF·OF.∴BF·AF＝PF·OF，
即(PF－2)·(6－PF)＝PF·(4－PF)，解得PF＝3.

举一反三

如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.

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如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.

(1)证明：△ABE∽△ADC；
(2)若△ABC的面积S＝

AD·AE，求∠BAC的大小．

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如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.

(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；
(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋

，求△ABC外接圆的面积．

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如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.

(1)求证：AB²＝DE·BC；
(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．

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如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点．已知PA＝2，过点P的⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为________．

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