如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．

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如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.

(1)证明：△ABE∽△ADC；
(2)若△ABC的面积S＝

AD·AE，求∠BAC的大小．

答案

（1）见解析（2）90°

解析

(1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.
(2)因为△ABE∽△ADC，所以

，
即AB·AC＝AD·AE.
又S＝

AB·ACsin∠BAC，且S＝

AD·AE，
故AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.
则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°

举一反三

如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.

(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；
(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋

，求△ABC外接圆的面积．

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如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.

(1)求证：AB²＝DE·BC；
(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．

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如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点．已知PA＝2，过点P的⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为________．

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如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm,4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则

＝________.

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如图，△ABC∽△AFE，EF＝8，且△ABC与△AFE的相似比是3∶2，则BC等于________．

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