已知曲线C：xy=1（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．
题型：不详难度：来源：
已知曲线C：xy=1
（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；
（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程． |
答案
解 （1）由题设条件，M= | | cos45° | -sin45° | | sin45° | cos45° |
| |
=，
TM：→==，即有，
解得，代入曲线C的方程为y′2-x′2=2．
所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，得到的曲线是y2-x2=2．…（5分）
（2）由（1）知，只须把曲线y2-x2=2的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转45°后，即可得到曲线C的焦点坐标和渐近线方程．
曲线y2-x2=2的焦点坐标是（0，-2），（0，2），渐近线方程x±y=0，
变换矩阵N= | | cos(-45°) | -sin(-45°) | | sin(-45°) | cos(-45°) |
| |
=，
=，=，
即曲线C的焦点坐标是（-，-），（，）．而把直线x±y=0要原点顺时针旋转45°恰为y轴与x轴，因此曲线C的渐近线方程为x=0和y=0．…（10分） |
举一反三
| 若矩阵 M=，则直线x+y+2=0 在M 对应的变换作用下所得到的直线方程为______． |
已知矩阵M=，
（1）若矩阵M的逆矩阵M-1=，求a，b；
（2）若a=-2，求矩阵M的特征值． |
已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系．
（3）求直线l：x-y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程． |
（选修4-2：矩阵与变换）
矩阵，向量=，
（Ⅰ）求矩阵A的特征值和对应的特征向量；
（Ⅱ）求向量，使得A2=． |
| 已知矩阵M=，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量． |
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