(1)f(x)的定义域为(0,+∞), 令f′(x)=﹣1=0,解得x=1, 当0<x<1时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)上是增函数; 当x>1时,f′(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上是减函数; 故函数f(x)在x=1处取得最大值f(1)=0; (2)①由(1)知,当x∈(0,+∞)时,有f(x)≤f(1)=0,即lnx≤x﹣1, ∵ak,bk(k=1,2…,n)均为正数,从而有lnak≤ak﹣1, 得bklnak≤akbk﹣bk(k=1,2…,n), 求和得≤a1b1+a2b2+…+anbn﹣(b1+b2+…+bn) ∵a1b1+a2b2+…anbn≤b1+b2+…bn, ∴≤0,即ln≤0, ∴…≤1; ②先证≤…, 令ak=(k=1,2…,n),则a1b1+a2b2+…+anbn=1=b1+b2+…bn, 于是由①得≤1,即≤nb1+b2+…bn=n, ∴≤…, ②再证…≤b12+b22+…+bn2, 记s=b12+b22+…+bn2.令ak=(k=1,2…,n), 则a1b1+a2b2+…+anbn=(b12+b22+…+bn2)=1=b1+b2+…bn, 于是由(1)得≤1, 即…≤sb1+b2+…bn=s, ∴…≤b12+b22+…+bn2, 综合①②,②得证. |