学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽为2米,,与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线,抛物线的顶点为,对称轴与地面垂直,沟深2米,沟中水深
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学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽为2米,,与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线,抛物线的顶点为,对称轴与地面垂直,沟深2米,沟中水深
题型:不详
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学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽
为2米,,与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线,抛物线的顶点为
,对称轴与地面垂直,沟深2米,沟中水深1米.
(1)求水面宽;
(2)如图1所示形状的几何体称为柱体,已知柱体的体积为底面积乘以高,求沟中的水有多少立方米?
(3)现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟,使沟的底面与地面平行,沟深不变,两腰分别与抛物线相切(如图2),问改挖后的沟底宽为多少米时,所挖的土最少?
答案
(1)
米(2)
立方米;(3)
米
解析
试题分析:(1)以O为坐标原点,抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系,写出A,B点的坐标,利用待定系数法抛物线方程,利用水深即为水面与抛物线交点的纵坐标,代入抛物线方程求出水面与抛物线交点的横坐标,结合图知所求横坐标的2倍就是水面宽度;(2)利用定积分求出水体底面面积,再用柱体体积公式求出水体体积;(3)设出切点坐标,利用切点的导数就是切线的斜率求出切线的斜率,利用直线方程的点斜式求出切线方程,求出上下两底顶点的坐标,利用上下底顶点坐标的二倍就是梯形上下底宽算出梯形上下底的宽,将梯形面积表示为切点的横坐标的函数,利用基本不等式求出面积取最小值时对应的切点坐标,从而求出梯形的下底宽.
试题解析:(1)如图建立直角坐标系,设抛物线方程为
.
则由抛物线过点
,可得
.
于是抛物线方程为
.
当
时,
,由此知水面宽为
(米).
(2)
(立方米)
(3)为使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须同抛物线相切.
设切点
是抛物线弧
上的一点,过
作抛物线的切线得到如上图所示的直角梯形
,则切线
的方程为:
,于是
.
记梯形
的面积为
,则
,
当且仅当
,
时,等号成立,所以改挖后的沟底宽为
米时,所挖的土最少.
举一反三
已知函数
满足:对定义域内的任意
,都有
,则函数
可以是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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已知函数
,则
( )
A.2014
B.
C.2015
D.
题型:不详
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|
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对于两个图形
,我们将图形
上的任意一点与图形
上的任意一点间的距离中的最小值,叫做图形
与图形
的距离.若两个函数图像的距离小于1,陈这两个函数互为“可及函数”.给出下列几对函数,其中互为“可及函数”的是_________.(写出所有正确命题的编号).
①
;
②
,
;
③
,
;
④
,
;
⑤
,
.
题型:不详
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A,B两架直升机同时从机场出发,完成某项救灾物资空投任务.A机到达甲地完成任务后原路返回;B机路过甲地,前往乙地完成任务后原路返回.图中折线分别表示A,B两架直升机离甲地的距离s与时间t之间的函数关系. 假设执行任务过程中A,B均匀速直线飞行,则B机每小时比A机多飞行
公里.
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已知函数
在
上有两个零点,则实数
的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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