已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(-1,3).(1)若函数g(x)=xf(x)在区间内单调递减,求a的取值范围;(2)当a=
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已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(-1,3). (1)若函数g(x)=xf(x)在区间内单调递减,求a的取值范围; (2)当a=-1时,证明方程f(x)=2x3-1仅有一个实数根; (3)当x∈[0,1]时,试讨论|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要条件. |
答案
(1)(-∞,-1](2)见解析(3)-5≤a<0 |
解析
(1)∵f(x)-2x>0的解集为(-1,3), ∴可设f(x)-2x=a(x+1)(x-3),且a<0, 因而f(x)=a(x+1)(x-3)+2x=ax2+2(1-a)x-3a ① g(x)=xf(x)=ax3+2(1-a)x2-3ax, ∵g(x)在区间内单调递减, ∴g′(x)=3ax2+4(1-a)x-3a在上的函数值非正, 由于a<0,对称轴x=>0,故只需g′a(1-a)-3a≤0,注意到a<0,∴a2+4(1-a)-9≥0,得a≤-1或a≥5(舍去). 故所求a的取值范围是(-∞,-1]. (2)a=-1时,方程f(x)=2x3-1仅有一个实数根,即证方程2x3+x2-4x-4=0仅有一个实数根.令h(x)=2x3+x2-4x-4,由h′(x)=6x2+2x-4=0,得x1=-1,x2=,易知h(x)在(-∞,-1),上递增,在上递减,h(x)的极大值h(-1)=-1<0,故函数h(x)的图象与x轴仅有一个交点,∴a=-1时,方程f(x)=2x3-1仅有一个实数根,得证. (3)设r(x)=f(x)+(2a-1)x+3a+1=ax2+x+1,r(0)=1,对称轴为x=-, 由题意,得或 解出-5≤a<0, 故使|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要条件是-5≤a<0 |
举一反三
已知函数f(x)=则f(f(9))=________. |
若关于x的不等式2-x2≥|x-a|至少有一个正数解,则实数a的取值范围是________. |
某企业为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的成本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为,为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是C(x)=(x>0).记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和为F(x)(万元),则F(40)等于( )A.80 | B.60 | C. | D.40 |
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