试题分析:(Ⅰ)求导得:,由此可得函数在上递减,上递增, 从而得的最小值为. (Ⅱ)注意用第(Ⅰ)小题的结果.由(Ⅰ)知.这个不等式如何用?结合所在证的不等式可以看出,可以两端同时乘以变形为:,把换成得,在这个不等式中令然后将各不等式相乘即得. (Ⅲ)结合题中定义可知,分界线就是一条把两个函数的图象分开的直线.那么如何确定两个函数是否存在分界线?显然,如果两个函数的图象没有公共点,则它们有无数条分界线,如果两个函数至少有两个公共点,则它们没有分界线.所以接下来我们就研究这两个函数是否有公共点.为此设.通过求导可得当时取得最小值0,这说明与的图象在处有公共点.如果它们存在分界线,则这条分界线必过该点.所以设与的“分界线”方程为.由于的最小值为0,所以,所以分界线必满足和.下面就利用这两个不等式来确定的值. 试题解析:(Ⅰ)解:因为,令,解得, 令,解得, 所以函数在上递减,上递增, 所以的最小值为. 3分 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知函数在取得最小值,所以,即 两端同时乘以得,把换成得,当且仅当时等号成立. 由得,,, , ,. 将上式相乘得 . 9分 (Ⅲ)设. 则. 所以当时,;当时,. 因此时取得最小值0,则与的图象在处有公共点. 设与存在 “分界线”,方程为. 由在恒成立, 则在恒成立. 所以成立.因此. 下面证明成立. 设,. 所以当时,;当时,. 因此时取得最大值0,则成立. 所以,. 14分 |