设函数.(1)若对定义域内任意,都有成立,求实数的值;(2)若函数在定义域上是单调函数,求的范围;(3)若,证明对任意正整数,不等式都成立.

设函数.(1)若对定义域内任意,都有成立,求实数的值;(2)若函数在定义域上是单调函数,求的范围;(3)若,证明对任意正整数,不等式都成立.

题型:不详难度:来源:
设函数
(1)若对定义域内任意,都有成立,求实数的值;
(2)若函数在定义域上是单调函数,求的范围;
(3)若,证明对任意正整数,不等式都成立.
答案
(1);(2);(3)当时,
上递减 又,当时,恒有恒成立,当时,
-
解析

试题分析:(1)的定义域为,都有,又函数在定义域上连续.是函数的最小值,………………4分
(2)
在定义域上单调,上恒成立,--5分
上恒成立,即----------7分
,即恒成立.上无最小值.不存在使恒成立
综上,……………9分
(3)当时,

时, 上递减
,当时,恒有恒成立,
时,
-------12分
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性以及函数与数列、不等式的综合的问题,属于难题.利用分类讨论思想和不等式放缩的技巧,是解决本题的关键,也是思考的难点.
举一反三
(本小题满分12分)
设函数,其中表示不超过的最大整数,如.
 (1)求的值;
(2)若在区间上存在x,使得成立,求实数k的取值范围;
(3)求函数的值域.
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(本小题满分13分)设,其中为正实数。
(1)当时,求的极值点;
(2)若为R上的单调函数,求的取值范围。
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(本小题满分12分)南昌市在加大城市化进程中,环境污染问题也日益突出。据环保局测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比.现已知相距18的A,B两家工厂(视作污染源)的污染强度分别为,它们连线上任意一点C处的污染指数等于两家工厂对该处的污染指数之和.设).
(1) 试将表示为的函数;
(2) 若,且时,取得最小值,试求的值.
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(本小题满分14分)已知函数,其中.(1) 讨论函数的单调性,并求出的极值;(2) 若对于任意,都存在,使得,求实数的取值范围.
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函数+1(a>0,a≠1)的图象必经过定点 (   )
A.(0,1)B.(2,1)C.(2,2)D.(2,3)

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