(本小题满分13分)某市“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研,据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比,比例常数为.现已知相

(本小题满分13分)某市“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研,据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比,比例常数为.现已知相

题型:不详难度:来源:
(本小题满分13分)某市“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研,据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比,比例常数为.现已知相距两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数,,它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设.
(1) 试将表示为的函数;
(2) 若时,处取得最小值,试求的值.
答案
(1)(2)
解析

试题分析:(1)设点C受A污染源污染指数为
点C受B污染源污染指数为
其中k为比例系数,且k>0,
从而点C处污染指数.                         ……5分
(2) 因为,所以,=
=0,得
时,函数单调递减;当时,函数单调递增.
∴当时,函数取得最小值,又此时,解得
经验证符合题意.
所以,污染源B的污染强度的值为.                            ……13分
点评:从实际问题中抽象数学模型时,一定不要忘记函数的实际定义域,利用导数研究函数的单调性时,要把单调性说清楚,必要时可以画表格辅助说明.
举一反三
定义在上的奇函数对任意都有,当 时,,则的值为(     )
A.B.C.2D.

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定义在上的函数满足,当时,,当时,,则
A.335B.338C.1678D.2012

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(本题满分14分)已知函数的一系列对应值如下表:
















(1)根据表格提供的数据求函数的解析式;
(2)根据(1)的结果,若函数周期为,求在区间上的最大、最小值及对应的的值.
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定义运算 已知函数,则           
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(本题满分14分)已知为定义在上的奇函数,当时,
(1)求上的解析式;
(2)试判断函数在区间上的单调性,并给出证明.
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