解:(1)∵, ∴ …… 1 分 由 …… 4 分 ∴, 令,解得, 当变化时,,的变化情况如下表: ∴当时,取得极小值。 所以,。 …… 5 分 (2) ① …… 7 分 ②由(1)得, 假设当x>1时,存在“保值区间”:[m,n](n>m>1)。 因为当x>1时,所以在区间是增函数, 依题意, 于是问题转化为有两个大于1的根。 …… 9 分 现在考察函数 则令 又∵ ∴1< 当变化时,,的变化情况如下表: 所以,在在(1,) 上单调递减, 在上单调递增。 …… 12 分 于是,, 又因为 所以,当时,的图象与轴只有一个交点, …… 13 分 即方程有且只有一个大于1的根,与假设矛盾。 故当x>1时,不存在“保值区间”。 …… 14 分 (2)解法2:由(1)得, ② 假设当x>1时,存在“保值区间”:[m,n](n>m>1)。 因为当x>1时,所以在区间是增函数, 依题意, 于是问题转化为方程,即有两个大于1的根。…… 9 分 考察函数=(),与函数(). 当x>1时,, 所以 而函数在区间 …… 12 分 又因为 所以, 因此函数=()的图象与函数()的图象只有一个交点。 …… 13分 即方程有且只有一大于1的根,与假设矛盾。 故当时,不存在“保值区间” |