已知函数．（1）试判断在上的单调性；（2）当时，求证：函数的值域的长度大于（闭区间[m，n]的长度定义为n－m）．

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已知函数．
（1）试判断在上的单调性；
（2）当时，求证：函数的值域的长度大于（闭区间[m，n]的长度定义为n－m）．

答案

（1）函数在上为增函数．（2）同解析。

解析

（1）∵，
∴，
∴时，时；
∴函数在上为增函数．
（2）由（1）知；
即，      ∴（﹡）
令，  ∵，  ∴，
∴由（﹡）式得，即为；
∵函数的值域为，
∴函数的值域的长度为，
∴函数的值域的长度大于