已知函数是在上每一点均可导的函数，若 在时恒成立．（1）求证：函数在上是增函数；（2）求证：当时，有；（3）请将（2）问推广到一般情况，并证明你的结论．

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已知函数是在上每一点均可导的函数，若 在时恒成立．
（1）求证：函数在上是增函数；
（2）求证：当时，有；
（3）请将（2）问推广到一般情况，并证明你的结论．

答案

见解析

解析

（1）由得因为，
所以在时恒成立，所以函数在上是增函数．……3分
（2）由（1）知函数在上是增函数，所以当时，
有成立，……5分
从而，
两式相加得．……7分
（3）推广到一般情况为：
若，则，．……8分
以下用数学归纳法证明
（1）当时，有（2）已证成立，……9分
（2）假设当时成立，即
那么当时，


成立，即当时也成立．
有（1）（2）可知不等式对一切时都成立．……12分