已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断［f(x1)+f(x2)］与f()的大小，并加以证

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=log_ax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x₁,x₂∈(0,+∞),判断［f(x₁)+f(x₂)］与f()的大小，并加以证明. 

答案

［f(x₁)+f(x₂)］≥f()(当且仅当x₁=x₂时取“=”号）.

解析

f(x₁)+f(x₂)=log_ax₁+log_ax₂=log_ax₁x₂,
∵x₁,x₂∈(0,+∞),x₁x₂≤()²(当且仅当x₁=x₂时取“=”号)，
当a>1时，有log_ax₁x₂≤log_a()²,
∴log_ax₁x₂≤log_a()，(log_ax₁+log_ax₂)≤log_a,
即f(x₁)+f(x₂)］≤f()(当且仅当x₁=x₂时取“=”号)
当0＜a＜1时，有log_ax₁x₂≥log_a()²,
∴(log_ax₁+log_ax₂)≥log_a,即［f(x₁)+f(x₂)］≥f()(当且仅当x₁=x₂时取“=”号）.