设f(x)=. (1)证明:f(x)在其定义域上的单调性；(2)证明: 方程f-1(x)=0有惟一解；(3)解不等式f［x(x－)］<.

题型：不详难度：来源：

设f(x)=

.
(1)证明:f(x)在其定义域上的单调性；
(2)证明: 方程f^-1(x)=0有惟一解；
(3)解不等式f［x(x－

)］<

答案

(1) 证明略(2)证明略(3)

或

解析

由

得f(x)的定义域为(－1，1)，
易判断f(x)在(－1，1)内是减函数.
(2)证明:∵f(0)=

,∴f^-^－¹(

)=0,即x=

是方程f^-^－¹(x)=0的一个解.
若方程f^-^－¹(x)=0还有另一个解x₀≠

,则f^-^－¹(x₀)=0,
由反函数的定义知f(0)=x₀≠

,与已知矛盾，故方程f^-^－¹(x)=0有惟一解

(3)解: f［x(x－

)］＜

,即f［x(x－

)］＜f(0).

举一反三

某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域.
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.