(本小题满分14分)如图,正四棱柱中,,点在上且.(1) 证明:平面;(2) 求二面角的余弦值.
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(本小题满分14分)如图,正四棱柱中,,点在上且.(1) 证明:平面;(2) 求二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分14分)
如图,正四棱柱
中,
,点
在
上且
.
(1) 证明:
平面
;
(2) 求二面角
的余弦值.
答案
解法一:
依题设知
,
.
(Ⅰ)连结
交
于点
,则
.由三垂线定理知,
.…………2分
在平面
内,连结
交
于点
,
由于
,故
,
,
与
互余.
于是
.…………5分
与平面
内两条相交直线
都垂直,所以
平面
.…………6分
(Ⅱ)作
,垂足为
,连结
.由三垂线定理知
,
故
是二面角
的平面角.…………8分
,
,
.
,
.
又
,
.
.…………12分
∴
…………13分
所以二面角
的余弦值为
. …………14分.
解法二:
以
为坐标原点,射线
为
轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系
.
依题设,
.………2分
,
. ………4分
(Ⅰ)因为
,
,故
,
.
又
,所以
平面
. ………7分
(Ⅱ)设向量
是平面
的法向量,则
,
.故
,
.………10分
令
,则
,
,
.………11分
等于二面角
的平面角,
.………13分
所以二面角
的余弦值为
. …………14分
解析
略
举一反三
如下图所示,在单位正方体ABCD—
A
1
B
1
C
1
D
1
的面对角线
A
1
B
上存在一点
P
使得
AP
+
D
1
P
取得最小值,则此最小值为( )
A.2
B.
C.2+
D.
题型:不详
难度:
|
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已知
是不同的直线,
是不重合的平面,给出下列命题:
①若
②若
③若
④
是两条异面直线,若
上述命题中,真命题的序号是______________(写出所有真命题的序号).
题型:不详
难度:
|
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如图,在正三棱柱
ABC
—
A
1
B
1
C
1
中,底面边长为
,
D
为
BC
中点,
M
在
BB
1
上,且
.
(1)求证:
;
(2)求四面体
的体积.
题型:不详
难度:
|
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如图,
ABCD
是边长为2的正方形,
ABE
F是矩形,且二面角
C
—
AB
—
F
是直二面角,
AF
=1,
G
是
EF
的中点.
(1)求证:平面
AGC
平面
BGC
;
(2)求
GB
与平面
AGC
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积.
题型:不详
难度:
|
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