若函数y=f(x)是周期为2的偶函数,当x∈［2,3］时,f(x)=x－1.在y=f(x)的图象上有两点A、B,它们的纵坐标相等,横坐标都在区间［1,3］上,定

题型：不详难度：来源：

若函数y=f(x)是周期为2的偶函数,当x∈［2,3］时,f(x)=x－1.在y=f(x)的图象上有两点A、B,它们的纵坐标相等,横坐标都在区间［1,3］上,定点C的坐标为(0,a)(其中2<a<3),
(1)求当x∈［1,2］时,f(x)的解析式;
(2)定点C的坐标为(0,a)(其中2<a<3),求△ABC面积的最大值.

答案

(1) f(x)=－x+3，(2) 当t=时,S_最大值=

解析

(1)∵f(x)是以2为周期的周期函数,当x∈［2,3］时,f(x)=x－1,
∴当x∈［0,1］时,f(x)=f(x+2)=(x+2)－1="x+1.    " …………1分
∵f(x)是偶函数,∴当x∈［－1,0］时,f(x)=f(－x)=－x+1,  …………2分
当x∈［1,2］时,f(x)=f(x－2)=－(x－2)+1=－x+3.      …………4分
(2)设A、B的横坐标分别为3－t,t+1,1≤t≤2,则|AB|=(t+1)－(3－t)=2t－2,  …………6分
∴△ABC的面积为S=(2t－2)·(a－t)=－t²+(a+1)t－a(1≤t≤2)=－(t－)²+
∵2<a<3,∴<<2.当t=时,S_最大值=…………12分