对于函数f(n)=1+(-1)n2（n∈N*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）=1（k∈N*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（　　）A - 高中数学试题 - 超级试练试题库

对于函数f(n)=1+(-1)n2（n∈N），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）=1（k∈N）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（　　）A

题型：卢湾区一模难度：来源：

对于函数f(n)=

1+(-1)n

（n∈N^*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）=1（k∈N^*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（　　）

A．f（n+1）-f（n）=1	B．f（n+k）=f（n）（k∈N^*）
C．α^f（n）=f（n+1）+αf（n）（α≠0）	D．α^f（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）

答案

对于函数f(n)=

1+(-1)n

（n∈N^*），当n=1，2，3，4，…时的函数值为：0，1，0，1，…
对于A：f（3）-f（2）=-1不成立，故错；
对于B：f（n+1）≠f（n）不成立，故错；
对于C：α^f（n）=

α，n为偶数

1，n为奇数

，f（n+1）+αf（n）=

α，n为偶数

1，n为奇数

成立，故正确；
对于D：α^f（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）不成立，故错；
故选C．

举一反三

下列各对函数中，相同的是（　　）

A．f（x）=lgx²，g（x）=2lgx

B．f（x）=lg

x+1

x-1

，g（x）=lg（x+1）-lg（x-1）

C．f（u）=

1+u

1-u

，g（v）=

1+v

1-v

D．f（x）=x，g（x）=

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已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P₁（x₁，y₁），P₂=f（P₁），P₃=f（P₂），…，P_n=f（P_n-1），…．如果存在一个圆，使所有的点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P_n（x_n，y_n）的一个收敛圆．特别地，当P₁=f（P₁）时，则称点P₁为映射f下的不动点．若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(-x+1，

y)．
（Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
（Ⅱ）若P₁的坐标为（2，2），求证：点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一个半径为2的收敛圆．

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定义映射f：A→B，其中A={（m，n）|m，n∈R}，B=R．已知对所有的有序正整数对（m，n）满足下述条件：
①f（m，1）=1；
②若m＜n，f（m，n）=0；
③f（m+1，n）=n[f（m，n）+f（m，n-1）]，则f（3，2）的值是______；f（n，n）的表达式为______（用含n的代数式表示）．

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为了确保神州七号飞船发射时的信息安全，信息须加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见下表）：

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已知函数f（x）由下表给出：

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对于函数f(n)=1+(-1)n2（n∈N*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）=1（k∈N*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（ ）A