已知a、b∈(0,+∞),且a+b=1,求证:(1)a2+b2≥;(2)+≥8;(3)+ ≥;(4) ≥.
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已知a、b∈(0,+∞),且a+b=1,求证:(1)a2+b2≥;(2)+≥8;(3)+ ≥;(4) ≥.
题型:不详
难度:
来源:
已知a、b∈(0,+∞),且a+b=1,求证:
(1)a
2
+b
2
≥
;
(2)
+
≥8;
(3)
+
≥
;
(4)
≥
.
答案
证明见解析
解析
由
a、b∈(0,+∞),
得
≤
ab≤
≥4.
(当且仅当a=b=
时取等号)
(1)∵a
2
+b
2
=(a+b)
2
-2ab=1-2ab≥1-2×
=
,
∴a
2
+b
2
≥
.
(2)∵
+
≥
≥8,∴
+
≥8.
(3)由(1)、(2)的结论,知
+
=a
2
+b
2
+4+
+
≥
+4+8=
,∴
+
≥
.
(4)
=
+
+ab+
=
+
+
+2≥2+
+2=
.
举一反三
设a>0,b>0,a+b=1.
(1)证明:ab+
≥4
;
(2)探索猜想,并将结果填在以下括号内:
a
2
b
2
+
≥( );a
3
b
3
+
≥( );
(3)由(1)(2)归纳出更一般的结论,并加以证明.
题型:不详
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(本题满分14分)定义:对于函数
,
.若
对定义域内的
恒成立,则称函数
为
函数.(1)请举出一个定义域为
的
函数,并说明理由;(2)对于定义域为
的
函数
,求证:对于定义域内的任意正数
,均有
;
(3)对于值域
的
函数
,求证:
.
题型:不详
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已知
x
,
y
均为正数,且
x
>
y
,求证:
.
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已知
,且
,求证:
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已知
,求证:
。
题型:不详
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