解:(Ⅰ)证明:由题设可知,a2=a1+2=2,a3=a2+2=4,a4=a3+4=8, a5=a4+4=12,a6=a5+6=18, 从而, 所以a4,a5,a6成等比数列. (Ⅱ)由题设,可得a2k+1-a2k-1=4k,k∈N*, 所以a2k+1-a1=(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1) =4k+4(k-1)+…+4×1=2k(k+1),k∈N*, 由a1=0,得a2k+1=2k(k+l), 从而a2k=a2k+1-2k=2k2, 所以数列{an}的通项公式为 或写为 。 (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可知a2k+1=2k(k+1),a2k=2k2, 以下分两种情况进行讨论: (1)当n为偶数时,设n=2m(m∈N*), 若m=1,则 , 若m≥2,则
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, 所以, , 从而 ,n=4,6,8,…… (2)当n为奇数时,设n=2m+1(m∈N*),
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, 所以 , 从而 ,n=3,5,7,…… 综合(1)和(2)可知,对任意n≥2,n∈N*,有 。 |