（本小题满分14分）一种计算装置，有一数据入口点A和一个运算出口点B ，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到 ，记为；②当从A口输入自然数时，

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
一种计算装置，有一数据入口点A和一个运算出口点B ，按照某种运算程序：
①当从A口输入自然数1时，从B口得到 ，记为；
②当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一个结果的倍；
试问：当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想的关系式，并证明你的结论。

答案

，证明见解析。

解析

由已知得 
当时，，
同理可得  ---------------------4分
猜想 -------------------6分
下面用数学归纳法证明成立
①当时，由上面的计算结果知成立   ------8分
②假设时，成立，即 ，
那么当时，
即         
当时，也成立      ---------------13分
综合①②所述，对 ，成立。-----14分