试比较nn+1与(n+1)n(n∈N*)的大小.当n=1时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);当n=2时,有nn+1______(n+1)n(
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试比较nn+1与(n+1)n(n∈N*)的大小. 当n=1时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<); 当n=2时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<); 当n=3时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<); 当n=4时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<); 猜想一个一般性的结论,并加以证明. |
答案
当n=1时,nn+1=1,(n+1)n=2,此时,nn+1<(n+1)n, 当n=2时,nn+1=8,(n+1)n=9,此时,nn+1<(n+1)n, 当n=3时,nn+1=81,(n+1)n=64,此时,nn+1>(n+1)n, 当n=4时,nn+1=1024,(n+1)n=625,此时,nn+1>(n+1)n, 根据上述结论,我们猜想:当n≥3时,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立. ①当n=3时,nn+1=34=81>(n+1)n=43=64 即nn+1>(n+1)n成立. ②假设当n=k时,kk+1>(k+1)k成立,即:>1 则当n=k+1时,=(k+1)•()k+1>(k+1)•()k+1=>1 即(k+1)k+2>(k+2)k+1成立,即当n=k+1时也成立, ∴当n≥3时,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立. |
举一反三
已知数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an=,f(n)=. (Ⅰ)计算f(1),f(2),f(3)的值; (Ⅱ)比较f(n)与1的大小,并用数学归纳法证明你的结论. |
已知:a,b∈R+,n>1,n∈N*,求证:≥()n. |
由下列式子 1> 1++>1 1++++++> 1+++…+>2 … 猜想第n个表达式,并用数学归纳法给予证明. |
已知正项数列{an}中,a1=1,an+1=1+(n∈N*).用数学归纳法证明:an<an+1(n∈N*). |
用数学归纳法证明:1+++…+<2-(n≥2)(n∈N*)时第一步需要证明( )A.1<2- | B.1+<2- | C.1++<2- | D.1+++<2- |
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