已知正项数列{an}中，a1=1，an+1=1+an1+an(n∈N*)．用数学归纳法证明：an＜an+1(n∈N*)．

题型：不详难度：来源：

已知正项数列{a_n}中，a1=1，an+1=1+

an

1+an

(n∈N*)．用数学归纳法证明：an＜an+1(n∈N*)．

答案

证明：当n=1时，a2=1+

a1

1+a1

=

3

2

，a₁＜a₂，所以n=1时，不等式成立．
假设n=k（k∈N^*）时，a_k＜a_k+1成立，则n=k+1时，
ak+2-ak+1= 1+

ak+1

1+ak+1

-ak+1
=1+

ak+1

1+ak+1

-(1+

ak

1+ak

)
=

ak

1+ak

-

ak+1

1+ak+1

=

ak+1-ak

(1+ak+1)(1+ak)

＞0；
即a_k+2-a_k+1＞0，
所以n=k+1时，不等式也成立．
综上所述，不等式an＜an+1(n∈N*)成立．