求证:(1+x)n+(1-x)n<2n,其中|x|<1,n≥2,n∈N.
题型:不详难度:来源:
求证:(1+x)n+(1-x)n<2n,其中|x|<1,n≥2,n∈N. |
答案
证明:由于|x|<1,n≥2,n∈N. 当n=2时,(1+x)2+(1-x)2=2+2x2<4=22,当n=2时成立 假设n=k时成立,即(1+x)k+(1-x)k<2k成立 当n=k+1时,则:(1+x)k+1+(1-x)k+1=(1+x)k×(1+x)+(1-x)k×(1-x)=(1+x)k+x(1+x)k+(1-x)k-x(1-x)k<2k+x[(1+x)k-(1-x)k] =2k+x(2Ck1x+2Ck3x3+…)=2k+(2Ck1+2Ck3+…)=2k+2k=2k+1, 故当n=k+1时,不等式也成立 综上知:(1+x)n+(1-x)n<2n,其中|x|<1,n≥2,n∈N成立 |
举一反三
已知数列{an}满足a1=a,an+1=. (Ⅰ)依次计算a2,a3,a4,a5; (Ⅱ)猜想an的表达式,并用数学归纳法进行证明. |
用数学归纳法证明:对于大于1的任意自然数n,都有++…<2-成立. |
已知数列{xn}中,x1=1,xn+1=1+(n∈N*,p是正常数). (Ⅰ)当p=2时,用数学归纳法证明xn<(n∈N*) (Ⅱ)是否存在正整数M,使得对于任意正整数n,都有xM≥xn. |
已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足:0<a1<1,an+1=f(an),n=1,2,3,…. 证明:(I)0<an+1<an<1; (II)an+1<an3. |
是否存在常数a、b、c使等式1•(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论. |
最新试题
热门考点