证明:(I)先用数学归纳法证明0<an<1,n=1,2,3, (i)当n=1时,由已知显然结论成立. (ii)假设当n=k时结论成立,即0<ak<1. 因为0<x<1时f′(x)=1-cosx>0, 所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在[0,1]上连续, 从而f(0)<f(ak)<f(1),即0<ak+1<1-sin1<1. 故n=k+1时,结论成立. 由( i)、(ii)可知,0<an<1对一切正整数都成立. 又因为0<an<1时,an+1-an=an-sinan-an=-sinan<0, 所以an+1<an, 综上所述0<an+1<an<1. (II)设函数g(x)=sinx-x+x3,0<x<1.由(I)知, 当0<x<1时,sinx<x, 从而g′(x)=cosx-1+=-2sin2+>-2()2+=0. 所以g(x)在(0,1)上是增函数. 又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0, 所以当0<x<1时,g(x)>0成立. 于是g(an)>0,即sinan-an+an3>0. 故an+1<an3. |