(本小题9分)如图,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,SD平面ABCD,SD=2a,,点E是SD上的点,且(Ⅰ)求证:对任意的,都有(Ⅱ)设二面角C—AE—D的

(本小题9分)如图,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,SD平面ABCD,SD=2a,,点E是SD上的点,且(Ⅰ)求证:对任意的,都有(Ⅱ)设二面角C—AE—D的

题型:不详难度:来源:
(本小题9分)
如图,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,SD平面ABCD,SD=2a,,点E是SD上的点,且

(Ⅰ)求证:对任意的,都有
(Ⅱ)设二面角C—AE—D的大小为,直线BE与平面ABCD所成的角为,若,求的值
答案
(Ⅰ)见解析;
(Ⅱ)
解析
(1)可以通过证明即可。
(II)先找出二面角C-AE-D的平面角∠CDF,即∠CDF=.直线BE与平面ABCD所成的角,即=.然后再根据建立关于的方程,解出的值。
解:Ⅰ)证法1:如图1,连接BE、BD,

由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。
SD⊥平面ABCD,BD是BE在平面ABCD上的射影,AC⊥BE ------3分
(Ⅱ)如图1,

由SD⊥平面ABCD知,∠DBE= ,
SD⊥平面ABCD,CD平面ABCD, SD⊥CD。
又底面ABCD是正方形, CD⊥AD,而SD AD=D,CD⊥平面SAD.
连接AE、CE,过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F,连接CF,则CF⊥AE,
故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角,即∠CDF=。  ------------------5分
在Rt△BDE中,BD=2a,DE= 
在Rt△ADE中,
从而中,      --7分
,得.
,解得,即为所求.   ---------------------------------9分
(1)证法2:以D为原点,的方向分别作为x,y,z轴的正方向建立如
图2所示的空间直角坐标系,

则:D(0,0,0),A(,0,0),B(,0),C(0,,0),E(0,0),---------2分

,     即。       ---------3分
解法2:
由(I)得.
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则由
。--------------------5分
易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为.   -------------7分
0<
            =1

由于,解得,即为所求。--------------------9分
举一反三
如图,已知球的半径为,球内接圆锥的高为,体积为
 
(1)写出以表示的函数关系式
(2)当为何值时,有最大值,并求出该最大值.
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如图,平面四边形中,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面,若四面体顶点在同一个球面上,则该球的体积为 (     )
A.B.
C.D.

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已知正三棱锥P—ABC的各棱长都为2,底面为ABC,棱PC的中点为M,从A点出发,在三棱锥P—ABC的表面运动,经过棱PB到达点M的最短路径之长为        
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如图,已知四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯长,AB//CD,∠ABC=45°,DC=1,AB=2,PA⊥平面ABCD,PA=1。
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)若M是PC的中点,求三棱锥M—ACD的体积。
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如图,两矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直,DE与平面ABCD及平面所成角分别为30°、45°,M、N分别为DE与DB的中点,且MN=1.
(I) 求证:MN⊥平面ABCD

(II) 求线段AB的长;
(III)求二面角A-DE-B的平面角的正弦值.
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