(1)由已知可得函数f(x)的定义域为(-1,+∞), 而 f′(x)=, ∵a>0,x>-1,∴当 -1<x<时,f"(x)<0, 当 x>时,f"(x)>0, ∴函数f(x)的单调递减区间是 (-1,),单调递增区间是 (,+∞). (2)由(1)可知,f(x)的最小值 为 g(a)=f()=1-(a+1)ln(+1),a>0. 要证明 -<g(a)<0, 只须证明 <ln(+1)<成立. 设 φ(x)=ln(x+1)-,x∈(0,+∞). 则 φ′(x)=-=>0, ∴φ(x)在区间(0,+∞)上是增函数,∴φ(x)>φ(0)=0,即 ln(x+1)>. 取 x=得到 <ln(+1)成立. 设ψ(x)=ln(x+1)-x,x∈(0,+∞),同理可证ln(x+1)<x. 取 x=得到 ln(+1)<成立.因此,-<g(a)<0. |