已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2,a5是方程x2﹣12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn,且.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;

已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2,a5是方程x2﹣12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn,且.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;

题型:山东省期中题难度:来源:
已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2,a5是方程x2﹣12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn,且
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,试比较的大小,并说明理由.
答案

解:(1)设{an}的首项为a1
∵a2,a5是方程x2﹣12x+27=0的两根,

∴an=2n﹣1
n=1时,

n≥2时,
两式相减得 数列是等比数列,

(2)∵Sn==n2
∴S n+1=(n+1)2=
以下比较与S n+1的大小:
当n=1时,=,S2=4,∴<S2
当n=2时,=,S3=9,∴<S3
当n=3时,=,S4=16,∴<S4
当n=4时,=,S5=25,∴>S5
猜想:n≥4时,>S n+1
下面用数学归纳法证明:
①当n=4时,已证.
②假设当n=k (k∈N*,k≥4)时,>S k+1,即>(k+1)2
那么n=k+1时,==3>3(k+1)2=3k2+6k+3
=(k2+4k+4)+2k2+2k﹣1>[(k+1)+1]2=S(k+1)+1
∴n=k+1时,>S n+1也成立.
由①②可知n∈N*,n≥4时,>Sn+1都成立,
综上所述,当n=1,2,3时,<S n+1;当n≥4时,>Sn+1.

举一反三
已知函数f(x)=x﹣﹣2lnx在定义域是单调函数,f′(x)是函数f(x)的导函数.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当m取得最小值时,数列{an}满足:a1=m+3,an+1=f′()﹣nan+1,n∈N*.
试证:
①an>n+2;
+++…+
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已知正项数列{an}中,.用数学归纳法证明:
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已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处均可导的函数,若xf"(x)>f(x)在(0,+∞)上恒成立.
(1)①求证:函数在(0,+∞)上是增函数;
②当x1>0,x2>0时,证明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);
(2)已知不等式ln(x+1)<x在x>﹣1且x≠0时恒成立,求证:
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(1)已知函数f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),其中r为有理数,且0<r<1,求f(x)的最小值;
(2)试用(1)的结果证明如下命题:设a1≥0,a2≥0,b1,b2为正有理数,若b1+b2=1,则≤a1b1+a2b2
(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题。注:当α为正有理数时,有求导公式(xα=αxα-1
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已知函数f(x)=﹣x3+ax在(0,1)上是增函数.
(1)求实数a的取值范围A;
(2)当a为A中最小值时,定义数列{an}满足:a1=b∈(0,1),且2an+1=f(an),试比较an与an+1的大小.
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