已知正项数列{an}中，．用数学归纳法证明：．

题型：江苏期末题难度：来源：

已知正项数列{a_n}中，

．用数学归纳法证明：

．

答案

证明：当n=1时，

，a₁＜a₂，
所以n=1时，不等式成立．
假设n=k（k∈N*）时，a_k＜a_k+1成立，
则n=k+1时，

＞0；
即a_k+2﹣a_k+1＞0，
所以n=k+1时，不等式也成立．
综上所述，不等式

成立．

举一反三

已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处均可导的函数，若xf"（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（1）①求证：函数

在（0，+∞）上是增函数；
②当x₁＞0，x₂＞0时，证明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（2）已知不等式ln（x+1）＜x在x＞﹣1且x≠0时恒成立，求证：

…

．

题型：山东省月考题难度：| 查看答案

（1）已知函数f（x）=rx-x^r+（1-r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1，求f（x）的最小值；
（2）试用（1）的结果证明如下命题：设a₁≥0，a₂≥0，b₁，b₂为正有理数，若b₁+b₂=1，则

≤a₁b₁+a₂b₂；
（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当α为正有理数时，有求导公式（x^α）^′=αx^α-1 。

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已知函数f（x）=﹣x³+ax在（0，1）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围A；
（2）当a为A中最小值时，定义数列{a_n}满足：a₁=b∈（0，1），且2a_n+1=f（a_n），试比较a_n与a_n+1的大小．

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已知

，

．
（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．

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设f（n）=nⁿ⁺¹，g（n）=（n+1）ⁿ，n∈N^*．
（1）当n=1，2，3，4时，比较f（n）与g（n）的大小．
（2）根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．

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