设f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N*.(1)当n=1,2,3,4时,比较f(n)与g(n)的大小.(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并
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设f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N*. (1)当n=1,2,3,4时,比较f(n)与g(n)的大小. (2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明. |
答案
(1)当n=1时,nn+1=1,(n+1)n=2,此时,nn+1<(n+1)n, 当n=2时,nn+1=8,(n+1)n=9,此时,nn+1<(n+1)n, 当n=3时,nn+1=81,(n+1)n=64,此时,nn+1>(n+1)n, 当n=4时,nn+1=1024,(n+1)n=625,此时,nn+1>(n+1)n, (2)根据上述结论,我们猜想:当n≥3时,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立. ①当n=3时,nn+1=34=81>(n+1)n=43=64 即nn+1>(n+1)n成立. ②假设当n=k时,kk+1>(k+1)k成立,即:>1 则当n=k+1时,=(k+1)?()k+1>(k+1)?()k+1=>1 即(k+1)k+2>(k+2)k+1成立,即当n=k+1时也成立, ∴当n≥3时,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立. |
举一反三
函数数列{fn(x)}满足:f1(x)=(x>0),fn+1(x)=f1[fn(x)] (1)求f2(x),f3(x); (2)猜想fn(x)的表达式,并证明你的结论. |
试比较nn+1与(n+1)n(n∈N*)的大小. 当n=1时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<); 当n=2时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<); 当n=3时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<); 当n=4时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<); 猜想一个一般性的结论,并加以证明. |
用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+)时,第一步验证n=1时,左边应取的项是______ |
用数学归纳法证明不等式:+++…+>1(n∈N*且n.1). |
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