证明不等式1+12+13+…+1n<2n(n∈N*)
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证明不等式1+12+13+…+1n<2n(n∈N*)
题型:云南
难度:
来源:
证明不等式
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<2
n
(n∈N
*
)
答案
证法一:(1)当n=1时,不等式左端=1,右端=2,所以不等式成立;
(2)假设n=k(k≥1)时,不等式成立,即1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
<2
k
,
则
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k+1
<2
k
+
1
k+1
=
2
k(k+1)
+1
k+1
<
k+(k+1)+1
k+1
=2
k+1
,
∴当n=k+1时,不等式也成立.
综合(1)、(2)得:当n∈N
*
时,都有1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<2
n
.
证法二:设f(n)=
2
n
-(1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
)
,
那么对任意k∈N
*
都有:
f(k+1)-f(k)=2(
k+1
-
k
)-
1
k+1
=
1
k+1
[2(k+1)-2
k(k+1)
-1]
=
1
k+1
•[(k+1)-2
k(k+1)
+k]=
(
k+1
-
k
)
2
k+1
>0
∴f(k+1)>f(k)
因此,对任意n∈N
*
都有f(n)>f(n-1)>…>f(1)=1>0,
∴
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<2
n
.
举一反三
用数学归纳法证明不等式:
1
n
+
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
n
2
>1(n∈N
*
且n.1).
题型:不详
难度:
|
查看答案
用数学归纳法证明不等式
1+
1
2
+
1
4
+…+
1
2
n-1
>
127
64
成立,起始值至少应取为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知α
1
,α
2
,…α
n
∈(0,π),n是大于1的正整数,求证:|sin(α
1
+α
2
+…+α
n
)|<sinα
1
+sinα
2
+…+sinα
n
.
题型:沈阳模拟
难度:
|
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用数学归纳法证明“1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2
n
-1
<n(n∈N*,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是( )
A.2
k-1
B.2
k
-1
C.2
k
D.2
k
+1
题型:不详
难度:
|
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已知f(n)=1+
1
2
+
1
3
+L+
1
n
(n∈N
*
),用数学归纳法证明f(2
n
)>
n
2
时,f(2
k+1
)-f(2
k
)等于______.
题型:不详
难度:
|
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