已知α1，α2，…αn∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α1+α2+…+αn）|＜sinα1+sinα2+…+sinαn．
题型：沈阳模拟难度：来源：
| 已知α1，α2，…αn∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α1+α2+…+αn）|＜sinα1+sinα2+…+sinαn． |
答案
证明：下面用数学归纳法证明
（1）n=2时，|sin（α1+α2）|-|sinα1cosα2+cosα1sinα2|≤sinα1|cosα2|+|cosα1|•|sinα2|＜sinα1+sinα2，
所以n=2时成立．
（2）假设n=k（k≥2）时成立，即
|sin（α1+α2+Λ+αk）|＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk
当n=k+1时，|sin（α1+α2+Λ+αk+1）|=
=|sinαk+1cos（α1+Λαk）+cosαk+1sin（α1+Λαk）|
≤sinαk+1|cos（α1+Λ+αk）|+|cosαk+1|•|sin（α1+Λαk）|
＜sinαk+1+|sin（α1+Λαk）|
＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk+1
∴n=k+1时也成立．
由（1）（2）得，原式成立． |
举一反三
| 用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（ ） |
| 已知f（n）=1+++L+（n∈N*），用数学归纳法证明f（2n）＞时，f（2k+1）-f（2k）等于______． |
| 用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2•…•（2n-1）”（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是______． |
| 用数学归纳法证明：+++…+＞ （n∈N，n≥1） |
设f（n）=nn+1，g（n）=（n+1）n，n∈N*．
（1）当n=1，2，3，4时，比较f（n）与g（n）的大小．
（2）根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． |
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